考研高等数学（5）——函数的奇偶性和周期性 - 科技资讯(健康生活网)

本文我们继续来学习函数。请在阅读完前面的函数相关文章后，再来看本文。在前面关于函数奇偶性的介绍中，还留下了一个疑问，现在我们把这个疑问补上。

那么现在首先给出一个问题，任何一个函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，请问这句话是否正确？

对于这个问题的解答，有许多人认为这个世界上的函数怎么可能简简单单的就由奇函数和偶函数全部表示了呢，所以肯定是错误的。这个只能说是瞎猫碰到了死耗子，刚好让他们赶上了。

因为错误的关键根本不在这里。这句话错误的关键在于，只有关于原点对称的函数才可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。如果这个函数的定义甚至都不关于原点对称，那后面的奇函数和偶函数根本无从谈起。

但是为什么一个关于原点对称的函数，就可以由一个奇函数和一个偶函数的和来表示呢？

接下来以一种简单的方式来说明一下。我们知道一个非零既函数和一个非零偶函数的和是一个非奇非偶函数。

如果一个非零奇函数和一个偶函数相加，但是这个偶函数为零。这样子得到的结果为奇函数，没有任何问题吧！

如果一个非零偶函数和一个为零的奇函数相加，则可以得到偶函数。这个说法也是没有任何问题的。

那我们考虑一下这个世界上但凡是定义域关于原点对称的函数，是不是总共就三类。它要么是奇函数，要么是偶函数，要么是非奇非偶函数。你不可能再举出别的例子了，当然注意这边的前提是定义域关原点对称。

所以上述那句话，就证明出来了。那么函数奇偶性这一块，一些简单的结论就都介绍完了。

接下来是函数的周期性。周期性的定义这边儿就不复述了比较简单。而且周期性在函数这一块没有什么值得讨论的地方，除了下面两个注意点。首先，周期性和函数别的性质在一起是没有什么定理的。比如这边举一个例子，一个单调函数和一个周期函数相乘可以得到什么？

有许多人就会在这里考虑是否可以乘出一个特殊的函数。这里请注意什么都不会乘出来，当然不排除有特殊情况。但是只要这不是一个必然的情况，它就不能作为一条定理来使用。

其次对于函数的周期性，还要注意的一点就是并非每一个周期函数都有最小正周期。

对于这个性质，在书上用的是迪利克雷函数作为一个例子。但实际上完全不需要这么麻烦，这里给出一个函数f(x)=1，x∈R，请自己考虑一下它的最小正周期是什么。

到了这里，各位算是掌握了函数的一点皮毛。下面来介绍一下几个特殊的函数，凑一点字数。

首先是常值函数，这个大家经常可以看到。比如说x=1，或者y=1，当然还有经常拿来举例子的y=0。它们的特点就在于它们与坐标轴是平行的。有许多看似正确的定理，如果带入它们，就可以进行否定。所以这些函数常常作为一个反例来举出。

接下来我们介绍符号函数，它的公式如下:

把它的形式记住就可以了，因为有的时候在积分中会让你去积这样一个符号函数。如果你不小心忘了它的公式，就请按照sinx来积。这样你死的会有尊严一点。

最后就是迪利克雷函数，你只要把它的公式记住就可以了，不是特别重要。

其实还有一个特别重要的函数，我们后面再详细说，先休息一下。